Cossack được đặt hàng cho xưởng tàu Walker tại Newcastle-upon-Tyne của hãng Vickers-Armstrong trong Chương trình Chế tạo Hải quân 1935. Nó được đặt lườn vào ngày 9 tháng 6 năm 1936, và được hạ thủy vào ngày 8 tháng 6 năm 1937, được đỡ đầu bởi bà S. V. Goodall. Cũng được hạ thủy cùng ngày hôm đó tại cùng xưởng tàu này là con tàu chị em HMS Afridi. Cossack được nhập biên chế vào ngày 7 tháng 6 năm 1938 và hoàn tất vào ngày 14 tháng 6 năm 1938.